Barisan Aritmetika

Gambar 1. Nomor Urut Rumah

Pernahkah kamu memperhatikan nomor rumah di lingkunganmu? Penomoran rumah pada perumahan tertentu memisahkan nomor ganjil di satu sisi dan nomor genap di sisi yang lain. Rumah nomor 1 bersebelahan dengan rumah nomor 3. Rumah nomor 3 bersebelahan dengan rumah nomor 5 dan seterusnya. Begitu pula dengan sisi yang lain, rumah nomor 2 bersebelahan dengan rumah nomor 4. Rumah nomor 4 bersebelahan dengan rumah nomor 6 dan seterusnya, seperti pada gambar di atas.

Perubahan nomor rumah tersebut mengikuti aturan tertentu, di mana dua buah bilangan yang berurutan memiliki selisih yang tetap. Barisan bilangan yang seperti itu disebut barisan aritmetika.

Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang memiliki beda atau selisih tetap antara dua suku yang berurutan.
Bentuk umum dari barisan aritmetika adalah $U_1,U_2,U_3,…,U_n$

Beda setiap suku disimbolkan dengan “$b$” yang memenuhi pola berikut:
$b=U_2-U_1=U_3-U_2=…=U_n-U_{n-1}$

$n$ adalah bilangan asli sebagai nomor urut suku, $U_n$ adalah suku ke-$n$.
Setiap dua suku yang berurutan pada barisan aritmetika memiliki beda yang sama, maka diperoleh:
$U_1=a$
$U_2=a+b$
$U_3=U_2+b=a+2b$
$U_4=U_3+b=a+3b$
…
$U_n=a+(n-1)b$

Jadi, rumus suku ke-n barisan aritmetika adalah $U_n=a+(n-1)b$
dengan $b=U_n-U_{n-1}$

Keterangan:
$a=$ suku pertama barisan $(U_1)$
$b=$ beda setiap suku barisan aritmetika

Contoh:
Sebuah perumahan memisahkan rumah dengan nomor ganjil di satu sisi dan rumah dengan nomor genap di sisi yang lain. Jika diketahui nomor rumah pada sisi ganjil berturut-turut adalah 1, 3, 5, dan seterusnya, maka berapakah nomor rumah di urutan ke-30?
Penyelesaian:

         
Gambar 2. Rumah dengan nomor urut ganjil
Dik: Nomor rumah urutan pertama$=a=1$
       Beda nomor setiap rumah$=b=2$
Dit: Nomor rumah di urutan ke-30$=U_{30}=$?
$U_n=a+(n-1)b$
$U_{30}=1+(30-1)2$
       $=1+(29)2$
       $=1+58=59$
Jadi, nomor rumah urutan ke-30 adalah 59.

Suku Tengah Barisan Aritmetika

Suku tengah terdapat pada barisan aritmetika dengan banyak suku ganjil. Suku tengah barisan aritmetika $(U_t)$ dapat dirumuskan sebagai berikut.

$U_t=\frac{1}{2}(U_{awal}+U_{akhir})$

Contoh:
Tentukan suku tengah dari barisan aritmetika 3, 5, 7, …, 31.
Penyelesaian:
$U_t=\frac{1}{2}(U_{awal}+U_{akhir})$
     $=\frac{1}{2}(3+31)$
     $=\frac{1}{2}(34)=17$
∴$U_t=17$

Sisipan Barisan Aritmetika

Di antara dua bilangan real dapat disisipkan beberapa bilangan asli.
Jika diketahui:
$p \neq q$
$p=$ suku pertama ($a/U_1$)
$q=$ suku terakhir
$s=$ banyak bilangan yang disisipkan di antara $p$ dan $q$ ($s$ ∈ bilangan asli)
Beda ($b$) dari barisan aritmetika baru tersebut adalah:

$b=\frac{q-p}{s+1}$

Contoh:
Tentukan empat bilangan sisipan antara bilangan -2 dan 73, sehingga membentuk barisan aritmetika baru.
Penyelesaian:
Dik: $p=U_1=-2$;
       $q=U_6=73$;
       $s=4$
Dit: $U_2, U_3, U_4, U_5=$ ?
$b=\frac{q-p}{s+1}$
   $=\frac{73-(-2)}{4+1}$
   $= \frac{75}{5}=15$
Empat bilangan sisipannya:
$U_n=a+(n-1)b$
$U_2=-2+(2-1)15=13$
$U_3=-2+(3-1)15=28$
$U_4=-2+(4-1)15=43$
$U_5=-2+(5-1)15=58$
Jadi, empat bilangan sisipan antara bilangan -2 dan 73 adalah 13, 28, 43, dan 58.

Nah, kamu sudah menyelesaikan materi barisan aritmetika. Selanjutnya kamu bisa mengerjakan soal latihan dengan menekan tombol di bawah. Setelah itu kamu dapat mempelajari materi selanjutnya.